1 files changed, 332 insertions, 0 deletions
diff --git a/sem5/sig/eksamnen/noter.md b/sem5/sig/eksamnen/noter.md
new file mode 100644
index 0000000..d4f8afb
--- /dev/null
+++ b/sem5/sig/eksamnen/noter.md
@@ -0,0 +1,332 @@
+# TODO 
+
+- [ ] Check opgaver i TOPIC 1
+- [ ] Check opgaver i TOPIC 2
+- [ ] Check opgave 7 i TOPIC 3
+
+- [ ] Check opgaver i 10
+- [ ] Check opgaver i 11
+
+- [ ] Kig på B.1 i reexam
+
+# Topic 1
+
+## Eksponential sekvens
+
+Kan beskrives som:
+
+$$x[n] = A \alpha^n$$
+
+## Komplex eksponential sekvens
+
+(Se slide 42)
+
+Her lader man de to dele (imag og real) være exponentialt vægtede siusiods.
+
+## Frekvens i deskrete signaler
+
+Hvis man har en frekvens $\omega_0$ kan man ikke se forskel fra frekvensen $\omega_0 + 2 \pi$.
+
+## Perioditet
+
+Hvis man har en complex exponential sekvens er det ikke sikkert at den er periodisk.
+Her kræver det er at:
+
+$$
+e^{j \omega_0 (n + N)} = e^{j \omega_0 n}
+$$
+
+Ved sinusiod gælder.
+
+$$
+\omega_0 N = 2 \pi k
+$$
+
+# Topic 2
+
+## Mærkelige ord
+
+Tids-invariante system
+:   Ved en given input-sekvens giver systemet altid det samme output uafhængigt at tidspunktet.
+
+Kausalitet
+:   Et kausalt systems output afhænger kun af tidsligere input og ikke fremtidigt input.
+
+BIBO stabilt
+:   Et bounded input skal også give et bounded output.
+
+## Lineære tidsinvariante systemer og foldning
+
+Her kan man beskrive systemet som at være afhængig af et input sekvens og et impuls respons $h[n]$.
+
+$$
+y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]
+$$
+
+Dette kaldes også en *foldning* eller *convolution*.
+
+Foldning er både kommulatativ og distributiv (se slide 17).
+
+### Stabilitet
+
+Et LTI system er stabilt hvis dens impulsrespons er summerbar.
+
+$$
+S = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |h[k]| < \infty
+$$
+
+Dette kaldes også et finite impulse response eller FIR.
+
+Man kan også have stabile systemer med et uendeligt impuls respons, sålænge summen konvergere.
+Dette kaldes et infinite impulse response eller IIR.
+
+# Topic 3
+
+## Overførings funktion eller transfer function
+
+Kaldes H og er laplace(eller z) af impuls respons.
+
+$$
+y(t) \ast h(t) \leftrightarrow Y(s) = H(s) \cdot X(s)
+$$
+
+I frequency domain bliver en foldning til en multiplication og omvendt.
+
+## Z Transform
+
+$$
+X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}
+$$
+
+Bilateral
+:   Two sided, altså fra $-\infty$ til $\infty$.
+Unilateral
+:   Her har man kun en positive side af summen.
+
+### Konvergens
+
+Vi ved ikke om alle x[n] sekvenser eller z får z tranformation til at konvergere.
+
+Derfor defineres ROC eller Region of Convergense som siger hvilke værdier får transformationen til at konvergere.
+Vi kan sige at den konvegere hvis:
+
+$$
+\sum_{n=-\infty}^{\infty} | x[n] r^{-n} | < \infty
+$$
+
+Fordi konvergens ikke afhænger af frekvens(hvor langt rundt i cirklen man er) men kun $|z|$, må ROC altså være en ring.
+Hvis ROC indeholder enhedscirklen $|z| = 1$ betyder det at fourier transformen også konvergere.
+
+### Stabilt
+
+Ens transfer funktion skal indeholde ROC for at være stabilt.
+
+## Fourier transform af sequence
+
+$$
+X(e^{j \omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}
+$$
+
+Dette er bare en z transform hvor $z = e^{j \omega}$.
+
+Her er en z tranformation på enhedscirklen i det komplekse plan lig med fourier transform.
+Læs mere på slide 14.
+
+## Brug af z transform
+
+En z transform fortæller meget hvis man kan skrive den op som en rational function (altså kan beskrives som to polynomier over hinnanden).
+
+$$
+X(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}
+$$
+
+Her beskriver rødderne i $P(z)$ nulpunkterne i X(z).
+Mens rødderne i $Q(z)$ beskriver rødder.
+
+Disse to typer punkter beskriver egenskaberne af X(z).
+
+### Properties
+
+1. ROC er en ring eller disk i z planet
+2. Fourier transformen af $x[n]$ konvergere hvis og kun hvis ROC indeholder enhedscirklen.
+3. ROC indeholder ikke nogle poler
+4. Hvis x[n] kun indeholder elementer i et finite interval, vil ROC indeholde hele z planet undtaget $z = 0$ eller $z = \infty$.
+5. Hvis x[n] er en *right-sided sequence*, altså en sekvens der er nul mindre end en bestemt $N_1$, vil ROC gå fra den største pol til $\infty$.
+6. Hvis x[n] er en *left-sided sequence*, altså en sekvens der er nul større end en bestemt $N_2$, vil ROC gå fra center til den mindste pol.
+7. Hvis x[n] er en *two-sided sequence* vil ROC være en disk.
+8. ROC skal være en forbundet region.
+
+
+
+# Topic 5
+
+## Frekvens og fase response
+
+$H(j\Omega) kan deles op i frekvens og fase respons:
+
+Amplitude respons: $|H(j\Omega)|$
+
+Fase respons: $Arg(H(j\Omega))$
+
+Amplitude responsen skrives tit i decibel, hvilken regnes ud med:
+
+$$
+20 \cdot log_{10} |H(j \Omega)| \qquad \textrm{[dB]}
+$$
+
+# Topic 6
+
+## Forskellige typer filtre
+
+Low-pass
+:   Lukker af for signalet efter en cutoff frequency
+
+High-pass
+:   Åbner for signalet efter en bestemt cutoff frequency
+
+Bandpass
+:   Lader en et bestemt interval af signaler igennem
+
+Notch
+:   Omvendt af bandpass
+
+Disse kan findes på slide 14
+
+## Forskellige områder i et filter
+
+Passband
+:   De frekvenser som filteret skal lade komme igennem, stopper ved $\Omega_p$
+
+Transition
+:   Hvor filtreret går fra åbent til lukker, stopper ved $\Omega_s$
+
+Stopband
+:   De frevenser som filteret ikke lader komme igennem
+
+# Topic 7
+
+Forklarer en masse om hvordan man laver et IIR filter ud fra en analog specifikation.
+
+Samt bilinear transformation.
+
+## Butterworth
+
+Et idealt filter er ikke muligt, men en approx er butterworth LP filter.
+
+$$
+|H_c (j \Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \left(\frac{j\Omega}{j\Omega_c} \right)^2N}
+$$
+
+Her er $N$ filter orderen hvor højere approx, altså mindre transition band.
+
+## Bilinear 
+
+Her mapper man en frekvens i s domainet til en revolution på enheds cirklen i z domainet.
+
+$$
+s = \frac{2}{T_d} \left(\frac{ 1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}\right)
+$$
+
+# Topic 8
+
+## FIR filter
+
+Finite impuls response.
+
+Giver mulighed for *Linear phase*, hvilket har den fordel at det er let at manipulere signalet.
+Dette betyder at ligemeget frekvensen vil filteret give det samme delay.
+
+Linear phase kan opnås ved at man lader sit impulse response være symmetrisk.
+
+Findes mange forskellige typer beskrevet på slide 17.
+
+Design process er beskrevet super godt i Topic 9 starten af slides.
+
+# Topic 9
+
+Bruger frekvens transformation til at lave LP om til andre.
+Se side 553.
+
+# Topic 10
+
+## Quantitation
+
+Fejl der opstår når man convertere noget til digitalt hvor der kun er en fixed mængde precision.
+
+### Time quantitation
+
+Ved Sample hold og man fjerner continues time.
+
+### Variable contituation
+
+I ADC hvor man convetere et signal til en digital værdi på et begrænset antal bits.
+
+Her kommer der noget ind om signal to noise. Se slide 4.
+
+### Computer H(z)
+
+Dette sker ved interne beregninger, da man hele tiden mister precision.
+
+Her er der en masse ting man kan gøre.
+
+## Realisation structures
+
+Måder at konvertere fra en difference equation til en graphical representation.
+
+### Direct form 1
+
+Kan ses på slide 16, hvor man mapper en difference equation direkte.
+
+### Direct form 2
+
+Her introducere man en mellem function $w[n]$ som ligger mellem $x$ og $y$.
+
+Dette giver en kombineret direct form 1, og har den fordel at det kræver mindre memory.
+
+## Scaling
+
+Vil gerne have højst mulig Signal to noise, altså man vil gerne bedst mulig udnytte sin precision.
+
+Overflow inde i systemet er okay, sålænge den totale sum ikke kommer over.
+
+Forskellige typer scaling er muligt for at få god utilization.
+
+ -  Max-value scaling
+    Har den ulempe at man kan ende med ikke at udnytte systemet optimalt.
+ -  Sinusoid scaling
+    Self study
+ -  Variance scaling
+    Siger man at energi ved input skal være større end ved vigtige steder.
+
+# Topic 11
+
+## DFT
+
+Modsat DTFT som er continuer i frekvens, DTF er deskret i frekvens.
+
+Udledt af DFS, og udregnes med en sum af signalet selv.
+
+$$
+X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}
+$$
+
+Virker også omvendt.
+
+$$
+x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] W_N^{-kn}
+$$
+
+Her skal X og x være 0 uden for [0, N-1].
+
+# Topic 12
+
+ -  Periodic convolution (slide 7)
+ -  God opsummering af DTF (slide 11)
+
+## Finite sequence to periodic
+
+DTF kræver at man har en periodisk i tid signal.
+Dette er ikke rigtig sådan virkeligheden fungere.
+
+Istedet tager man N bits fra sig signal og gentager det om og om igen.
+Hvis man ikke har nok bits i sit signal til at tage N, kan man zero pad det til N.